We consider problem of order counting of algebraic affine and projective curves of Edwards [2, 8] over the finite field Fpn . The complexity of the discrete logarithm problem in the group of points of an elliptic curve depends on the order of this curve(ECDLP) [4, 20] depends on the order of this curve [10]. We research Edwards algebraic curves over a finite field, which are one of the most promising supports of sets of points which are used for fast group operations [1]. We construct a new method forcounting the order of an Edwards curve over a finite field. It should be noted that this method can be applied to the order of elliptic curves due to the birational equivalence between elliptic curves and Edwards curves. We not only find a specific set ofcoefficients with corresponding field characteristics for which these curves are supersingular, but we additionally find a general formula by which one can determine whether a curve Ed[Fp] is supersingular over this field or not. The embedding degree ofthe supersingular curve of Edwards over Fpn in a finite field is investigated and the field characteristic, where this degree is minimal, is found. A birational isomorphism between the Montgomery curve and the Edwards curve is also constructed. A one&-to-one correspondence between the Edwards supersingular curves and Montgomery supersingular curves is established. The criterion of supersingularity for Edwards curves is found over Fpn.
Ми розглядаємо алгебраїчнi аффiннi i проективнi кривi Едвардс&а [2, 8] над скiнченним полем Fpn . Складнiсть проблеми дискретного логарифму в групi точок елiптичної кривої (ECDLP) [4] залежить вiд порядку цiєї кривої [10]. Дослiджуємо алгебраїчнi кривi Едвардса над скiнченним полем, якi є одним з найбiльш пресп&ективних носiїв множин точок, якi використовуються для швидких групових операцiй [1]. Будуємо новий метод пiдрахунку порядку кривої Едвардса над скiнченним полем. Слiд зазначити, що цей метод може бути застосований до визначення порядку елiптичних кр&ивих через бiрацiональнi еквiвалентностi мiж елiптичними кривими i кривими Едвардса. Ми не тiльки знаходимо набiр коефiцiєнтiв з вiдповiдними характеристиками поля, для яких цi кривi є суперсингулярними, ми також додатково знаходимо загальну формулу,& згiдно з якою можна визначити, чи є крива Ed[Fp] суперсингулярною над цим полем чи нi. Дослiджується ступiнь вкладення суперсингулярної кривої Едвардса над Fpn в скiнченне поле. Також знайдена характеристика поля, де цей ступiнь мiнiмальний. У статт&i знайдено критерiй суперсингулярностi кривої Едвардса над Fpn . Встановлено взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж суперсингулярними кривими Едвардса i суперсингулярними кривими Монтгомерi. Побудований бiрацiональних iзоморфiзм мiж кривою Монтгомерi т&а кривою Едвардса. Вказанi образи спецiальних точок кривої Едвардса на сферi Рiмана при бiрацiональному iзоморфiзмi.
Рассматриваются алгебраические аффинные и проективные кривые Эдвардса [2, 8] над конечным полем Fpn . Сложность проблемы дискретного& логарифма в группе точек эллиптической кривой (ECDLP) [4] зависит от порядка этой кривой [10]. Известно, что многие современные криптосистемы [10] могут быть естественным образом построены на эллиптические кривых [4]. Мы исследуем алгебраические кри&вые Эдвардса над конечным полем, которые являются одним из наиболее многообещающих носителей множеств точек, использующихся для быстрых групповых операций [1]. Нами построен новый метод подсчета порядка кривой Эдвардса над конечным полем. Следует отм&етить, что этот метод может быть применен к определению порядка эллиптических кривых из-за бирациональной эквивалентности между эллиптическими кривыми и кривыми Эдвардса. Мы не только находим набор коэффициентов с соответствующими характеристиками по&ля, для которых эти кривые являются суперсингулярными, мы также дополнительно находим общую формулу, по которой можно определить, является ли кривая Ed[Fp] суперсингулярной над этим полем или нет. Таким образом необходимые и достаточные условия супер&
