Традиционно изучение периодических и нетеровых краевых задач в критических случаях было связано с предположением, что дифференциальное уравнение, а также краевое условие, известны и фиксированы [1, 2]. Как правило, изучение периодических задач в случае параметрического резонанса ограничивалось исследованием вопросов устойчивости [3, 4, 5]. В то же время, при изучении периодических краевых задач в случае параметрического резонанса в связи с многочисленными приложениями в электронике [3], теории плазмы [6], нелинейной оптике, механике [7] и станкостроении [8], наряду с нахождением решений требуется вычисление собственной функции соответствующей краевой задачи. Целью данной статьи является построение решений линейных матричных краевых задач в случае параметрического резонанса, разрешимость которых обеспечена соответствующим выбором собственной функции краевой задачи. Используемая классификация линейных матричных краевых задач в случае параметрического резонанса в зависимости от простоты или кратности корней уравнения для порождающих констант существенно отличается от аналогичной классификация периодических задач в случае параметрического резонанса [4, 5] и соответствует общей классификации периодических и нетеровых краевых задач [1, 2]. Полученные д&ля линейных матричных краевых задач в случае параметрического резонанса условия разрешимости, а также уравнение для порождающих функций обобщают соответствующие условия разрешимости, а также традиционное уравнения для порождающих констант в случае па&раметрического резонанса [9, 10, 11] - на случай линейных матричных краевых задач [12]. В статье существенно используется техника решения матричных уравнений Ляпунова, а также их обобщений - матричных уравнения Сильвестра [13, 14, 15].
Традиційне ви&вчення періодичних і нетерових крайових задач у критичних випадках було пов"язано з припущенням, що диференціальне рівняння, а також крайова умова, відомі та фіксовані [1, 2]. Як правило, вивчення періодичних задач у випадку параметричного резонансу &обмежувалося дослідженням питань стійкості [3, 4, 5]. У той же час, при дослідженні періодичних крайових задач у випадку параметричного резонансу, пов"язаних із численними застосуваннями в електроніці [3], теорії плазми [6], нелінійній оптиці, механі&ці [7] і верстатобудуванні [8], окрім знаходженням розв"язків потрібне обчислення власної функції відповідної крайової задачі. Метою цієї статті є побудова розв"язків лінійних матричних крайових задач у випадку параметричного резонансу, розв"язність &яких забезпечується відповідним вибором власної функції крайової задачі. Використовувана класифікація лінійних матричних крайових задач у випадку параметричного резонансу залежно від простоти або кратності коренів рівняння для породжуючих констант, і&стотно відрізняється від аналогічної класифікація періодичних задач у випадку параметричного резонансу [4, 5] і відповідає загальній класифікації періодичних і нетерових крайових задач [1, 2]. Отримані для лінійних матричних крайових задач у випадку &параметричного резонансу умови розв"язності, а також рівняння для породжуючих функцій, узагальнюють відповідні умови розв"язності, а також традиційне рівняння для породжуючих констант у випадку параметричного резонансу [9, 10, 11] на випадок лінійних& матричних крайових задач [12]. У статті істотно використовується техніка розв"язання матричних рівнянь Ляпунова, а також їх узагальнень - матричних рівняння Сильвестра [13-15].
Traditionally the study of periodic and Noether boundary value problems& in critical cases is associated with the assumption that the differential equation and the boundary conditions are known and fixed [1, 2]. As a rule, the study of periodic problems in the case of parametric resonance is limited to researching of sta&bility issues [3, 4, 5]. At the same time, during the study of periodic boundary value problems in the case of parametric resonance in connection with numerous applications in electronics, [3] theory of plasma [6], nonlinear optics, mechanics [7] and&
