У роботі представлено розв"язок прямої задачі для поля переміщень на вільній поверхні шаруватого ізотропного середовища з використанням матричного методу у випадку розподіленого джерела. Розподілене джерело розглядається як сукупність точкових джерел, кожне з яких представлене тензором сейсмічного моменту. Важливий аспект полягає в тому, що для розв"язку оберненої задачі використано аналітичні співвідношення прямої задачі, тобто інверсію для сейсмічного тензора здійснено шляхом використання розв"язків для поля переміщень. Для розподіленого джерела у роботі використано той факт, що хвильове поле від такого вогнища є суперпозицією полів переміщень від кожного точкового джерела. Таким чином, постановка прямої задачі полягає у визначенні хвильового поля на вільній поверхні шаруватого півпростору, коли вогнище землетрусу представлене розподіленим джерелом у просторі й часі. Описано методику для визначення поля переміщень на вільній поверхні у спектральній області з використанням значення посувок для елементарних джерел, а також часу наростання (rise time) і часу розриву (rupture time). Матричний метод застосовують саме у випадку поширення сейсмічних хвиль у горизонтально-шаруватому півпросторі, коли неоднорідне середовище моделюється системою однорідн&их ізотропних шарів із паралельними границями. Вогнище землетрусу як розподілене джерело є розміщеним в однорідному шарі. Показано перехід від перевизначеної системи рівнянь для визначення вектора посувки по розриву до розв"язку для узагальненої обер&неної задачі. Результати оберненої задачі для визначення площини розриву апробовано на прикладі події, що відбулася біля Мальти (24.04.2011: 13h02m12s, 35.92 N, 14.95 E, Mw4.0). Для даної події показано визначення часу наростання (rise time) і часу р&озриву (rupture time). Коректність оберненої задачі забезпечено шляхом визначення функціоналу, при якому мінімізується норма між реальними даними та параметрами, які отримано з використанням запропонованої методики. У випадку матриць, близьких до син&гулярних, запропоновано використовувати сингулярний розклад.
The solution of the direct problem is presented for the displacement field on the free surface of layered isotropic medium using the matrix method. The results of the direct problem are us&ed to determine the seismic moment tensor. An extended source is considered as a set of point sources, each one is presented by seismic moment tensor. An important aspect is that for the solution of inverse problem an analytical value of the direct p&roblem is used, i.e. inversion for seismic tensor is realized by using solutions for displacement fields. The solution for extended sources is based in the fact that the wave field from such a source is the superposition of displacement fields from e&ach point source. Thus, the statement of the direct problem is to determine the wave field on the free surface of layered half-space when the earthquake"s focus is represented as an extended source in space and time. A method is described which deter&mines the displacement field on the free surface in the spectral domain using the values of the shift for elementary sources as well as rise time and rupture time. Matrix method is used in case of seismic waves in horizontal layered half-space where &heterogeneous medium is simulated by homogeneous isotropic layers with parallel boundaries. The earthquake"s focus as an extended source is placed in a uniform layer. We have shown the transition from a redefined system of equations for determining a& slip vector to the solution for the generalized inverse problem. The results of the inverse problem for determining the rupture plane were tested on the example of the events that took place near Malta (24.04.2011: 13h02m12s, 35.92N, 14.95E, Mw4.0))&. For this event, the determination of the rise time and rupture time is shown. Correctness of the inverse problem is provided by determining of a functional in which the norm is minimized between the real data and parameters that are obtained using &
