Рассматривается первая краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с чистым запаздыванием. С использованием метода Фурье нахождение решения сводится к решению задачи Штурма-Лиувиля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и решению дифференциального уравнения с. чистым запаздыванием. С использованием специальных функций, названных запаздывающим синусом и запаздывающим косинусом получено решение линейного дифференциального уравнения с чистым запаздыванием.